نمایشی بی نظیر و زیبا از مجموعه مندلبرو | ریاضی علم زیبایی پدیده های عالم

مجموعهٔ مندلبرو مجموعه‌ای از نقطه‌ها روی صفحهٔ مختلط است که یک فراکتال را تشکیل می‌دهند. این مجموعه به خاطر زیبایی‌اش و نیز به خاطر ساختار پیچیده‌ای که فقط از چند تعریف سادهٔ ریاضی ناشی شده‌، در بیرون از دنیای ریاضیات هم شناخته شده می باشد.

مجموعه مندلبرو

مجموعهٔ مندلبرو (به انگلیسی: Mandelbrot set) اولین بار توسط یک ریاضی‌دان فرانسوی به نام پیر فاتو که در زمینه آنالیز مختلط پویا فعالیت می‌کرد در سال ۱۹۰۵ تعریف شد. فاتو در آن زمان به کامپیوتر مستعد برای ترسیم این تابع دسترسی نداشت و با وجود محاسبات زیاد نتوانست اشکالی را که ما امروزه می‌بینیم ببیند. هم‌زمان ریاضی‌دان دیگری به نام ژولیا روی توابع گویا روی صفحهٔ اعداد مختلط کار می‌کرد. امروز مجموعه‌های ژولیا از شکل‌های معروف فرکتالی است. این مباحث به صورت موضوعاتی پراکنده مطرح بودند تا این که بنوا مندلبرو در سال ۱۹۷۹ با انتشار مقالهٔ Fractals: Form, chance and dimension مباحث فوق و بسیاری از مباحث دیگر را تحت عنوان هندسه فرکتالی جمع‌بندی و عرضه کرد و با انتشار کتاب هندسه فرکتالی طبیعت توسط مندلبرو عملاً شکوفایی هندسهٔ فرکتالی آغاز شد.

برای خلق آثار زیبای بصری رایانه‌ای از این فرکتال، از رنگ‌آمیزی‌های مختلف استفاده می‌شود و اساس آن مرتبهٔ تکرّر (iteration) است به طوری که در هر تکرار در صورت تشخیص خارج بودن نقاط از مجموعه به آن نقاط رنگ مربوط به مرتبه تکرار تعلق می‌گیرد. به این ترتیب تصاویر رنگی به وجود می‌آید.

برای ترسیم فرکتال مندلبرو فلوچارت ذیل اجرا می شود :

ابتدا در صفحه اعداد مختلط عدد ۰+0i به توان دو رسیده و با مختصات مورد نظری که می خواهیم بدانیم عضو مجموعه است یا خیر مانند ( ۰.۸i+0.2 ) جمع می شود. سپس حاصل به توان دو رسیده و با عدد موردنظر دوباره جمع می گردد .

به طور طبیعی حاصل این جمع ها پس از ۶۰ تا ۴۰۰ بار انجام این حلقه ، بزرگ شده و به سرعت از مبدا مختصات فاصله می گیرد ولی در بازه -۲ تا +۲ دستگاه اعداد مختلط بعضی از نقاط پس از این آزمون چندان فاصله ای از مبدا نمی گیرند . برنامه های کامپیوتری این نقاط را بر حسب تعداد انجام عمل در این حلقه رنگ می کنند و به این ترتیب تصویر مجموعه در بازه مورد نظر بر اساس این آزمون تک تک نقاط شکل گرفته و رنگ آمیزی می شود. به طور معمول برای ترسیم هر شکل ، حلقه مرکزی این آزمون بین ۱۰۰ تا ۳۰۰ میلیون بار انجام می شود